Förderung von inhalts- und prozessbezogenen Kompetenzen durch „ergiebige Aufgaben“

von Ellen Basten  

Nachdem Heinrich Winter in den 80er-Jahren allgemeine mathematische Lernziele formuliert hatte, sind entdeckendes Lernen, Anwendungs- und Strukturorientierung zu zentralen Begriffen des Mathematikunterrichts geworden. Die bundesweiten Bildungsstandards der KMK 2004 und die in der Folge entstandenen neuen Lehrpläne fordern sehr nachhaltig, dass das Lernen von Mathematik mehr ist als der Erwerb von Kenntnissen und Fertigkeiten. Konkret heißt es im Lehrplan Mathematik Grundschule für NRW „Grundlegende mathematische Bildung zeigt sich in fachbezogenen Kompetenzen, d.h. durch das Zusammenspiel von Kompetenzen, die sich primär auf Prozesse beziehen (prozessbezogene Kompetenzen) und solche, die sich primär auf Inhalte beziehen (inhaltsbezogene Kompetenzen).“ (LP Mathematik für die GS NRW, S.5) 

Trotz dieser nicht neuen Forderungen deuten die Ergebnisse internationaler Vergleichsstudien (PISA / IGLU) darauf hin, dass deutsche Schüler im Reproduzieren formaler Kenntnisse und bei der Anwendung von Routineverfahren zwar zufriedenstellende Leistungen erzielen – sobald es aber um Problemlösung und um das Entwickeln und Beschreiben eigener Lösungsansätze geht, schneiden sie deutlich schwächer ab. Anscheinend finden gerade die prozessbezogenen Kompetenzen immer noch nicht genügend Beachtung im Mathematikunterricht. Nach wie vor scheint ein Unterricht weit verbreitet zu sein, in dem die Mathematik auf den Erwerb formaler Rechenfertigkeiten reduziert wird und die Möglichkeiten aktiv-entdeckenden Lernens nicht ausgeschöpft werden. Gerechtfertigt wird dieser fertigkeitsorientierte Unterricht seitens der Lehrer meist mit der enormen Stofffülle, die nur wenig Raum für „entdeckende und forschende“ Problemaufgaben lässt.

Daher ist ein Unterricht zu fordern, der die inhaltsbezogenen Kompetenzen mit den prozessbezogenen Kompetenzen vernetzt. In diesem Artikel möchte ich zeigen, wie dies durch eine andere Aufgabenqualität gelingen kann. Dabei möchte ich auf zwei Fragen eingehen:

  1. Was sind prozessbezogene Kompetenzen?
  2. Wie müssen Aufgaben gestaltet sein, um sowohl die prozess- wie die inhaltsbezogenen Kompetenzen zu fördern?


Was sind prozessbezogene Kompetenzen?

Prozessbezogene Kompetenzen beziehen sich auf Prozesse mathematischer Aktivität und nicht allein auf ihre Produkte (vgl. Selter, 2004, S. 19). Sie entwickeln sich erst in der tätigen Auseinandersetzung mit Mathematik. Die prozessbezogenen Kompetenzen lauten im Einzelnen (vgl. Lehrplan Mathematik Grundschule NRW):
 

Problemlösen/kreativ sein: Bearbeiten von Problemstellungen und Entwickeln eigener Lösungsstrategien durch Vermuten, Probieren, Reflektieren, Prüfen, Variieren und Verallgemeinern, Erschließen und Übertragen mathematischer Zusammenhänge

Modellieren: Anwenden von Mathematik auf Aufgabenstellungen aus der Lebenswelt; Erfassen und Bearbeiten von Sachproblemen mithilfe mathematischer Modelle, mathematischer Kenntnisse und Fertigkeiten Argumentieren: Hinterfragen mathematischer Aussagen; Überprüfen auf Korrektheit; Entwickeln von Vermutungen über mathematische Eigenschaften, Zusammenhänge, Beziehungen und Gesetzmäßigkeiten; Suchen und Nachvollziehen von Begründungen 

Darstellen/Kommunizieren: Beschreiben und Austauschen eigener Denkprozesse und Vorgehensweisen (mündlich, schriftlich oder mithilfe anderer Darstellungsformen wie Tabellen und Skizzen), Kommunizieren über mathematische Gegenstände und Beziehungen unter Berücksichtigung der Fachsprache

Zweifelsohne können diese Kompetenzen nicht inhaltsfrei erworben werden. Vielmehr sollen inhalts- und prozessbezogene Kompetenzen integrativ behandelt werden, denn erst in ihrem Zusammenspiel entwickelt sich die gesamte fachbezogene Kompetenz. Für die Entwicklung mathematischer Grundbildung sind dementsprechend weniger die Lerninhalte als die ablaufenden Lernprozesse entscheidend. Folglich sind Aufgaben gefordert, die eine integrative Förderung inhalts- und prozessbezogener Kompetenzen ermöglichen. 


Wie müssen Aufgaben gestaltet sein, die prozess- und inhaltsbezogene Kompetenzen integrativ fördern können?

Die fachdidaktische Literatur beschäftigt sich seit Jahren mit einer „neuen Aufgabenkultur“, die Voraussetzung für die Implementierung der geforderten Kompetenzerwartungen in den Mathematikunterricht ist. Breiter Konsens darüber besteht, was unter „guten / ergiebigen Aufgaben“ zu verstehen ist.

In der Handreichung des Ministeriums von NRW zur Kompetenzorientierung sind Kriterien für ergiebige / gute Lernaufgaben aufgelistet:

„Gute Lernaufgaben 

  • sind herausfordernd auf unterschiedlichem Anspruchsniveau
  • fordern und fördern inhalts- und prozessbezogene sowie übergreifende Kompetenzen
  • knüpfen an Vorwissen an und bauen das zu erwerbende Wissen kumulativ (vernetzt) auf
  • sind in sinnstiftende Kontexte eingebunden
  • sind vielfältig in den Lösungsstrategien und Darstellungsformen
  • stärken das Könnensbewusstsein durch erfolgreiches Bearbeiten.“ (Handreichung MSW, 2008)

Folgende Aufgabenstellung bedient die inhaltsbezogene Kompetenz „Zahlen und Operationen“ mit dem Schwerpunkt „Zahlenrechnen“. Inhaltsbezogen soll das Lösen von Subtraktionsaufgaben im Hunderterraum geübt werden.  

Praxisartikel: E. Basten Bild 1

Auf den ersten Blick scheinen die Aufgaben reine Übungsaufgaben zu sein. Die Zusammenstellung dieser Aufgaben ist jedoch nicht beliebig, sondern folgt einem bestimmten mathematischen Prinzip. Durch das Hinzufügen von „Forscherfragen“ wird die Aufgabenstellung zu einer „ergiebigen Aufgabe“, die prozessbezogene Kompetenzen fördert und somit als Beispiel für die geforderte neue Aufgabenkultur gelten kann. 

Praxisartikel: E. Basten Bild 2
Zusammenstellung der mathematischen Zusammenhänge, die sich durch die Bearbeitung derForscherfragen ablesen lassen:

  • Minuend und Subtrahend einer Aufgabe sind jeweils Spiegelzahlen, d.h. die Ziffern in Einer- und Zehnerstelle sind gespiegelt (z.B. 82 ð 28)
  • Die Ergebnisse sind ausnahmslos Vielfache von 9. Daher gibt es 9 verschiedene Ergebnisse (9, 18, 27, … 72,81).•
  • Ein Ergebnis ist immer das 9-fache der Differenz von Zehner- und Einer¬¬stelle.(Beispiel: 75 - 57 = 18; 7 - 5 = 2; 2•9 = 18)Eine mathematische Begründung für diese Auffälligkeit kann bereits auf Grundschulniveau gegeben werden, wenn man halbschriftlich mit dem Verfahren „Stellenwerte extra“ rechnet:
    Praxisartikel: E. Basten Bild 3
  • Die Differenz der Zehner- und Einerstelle kann von 1 bis maximal 9 gehen. Mit der Differenz 1 gibt es nur eine Aufgabe (90 - 9), mit der Differenz 8 gibt es zwei Aufgaben (91-19, 80 - 8) mit der Differenz 3 gibt es drei Aufgaben … mit der Differenz 1 gibt es 9 Aufgaben. So lassen sich insgesamt 45 Aufgaben mit Spiegelzahlen bilden.

In der fachdidaktischen Literatur (s.u.) finden sich heute viele Beispiele ergiebiger Aufgaben, die allen Kollegen und Kolleginnen als Anregung und Unterstützung zur Umsetzung der neuen Kompetenzerwartung dienen und den Schülerinnen und Schülern ein lebendiges „Mathematiktreiben“ ermöglichen können! 

Literatur:

  • MSW (2005). Kriterien für gute Lernaufgaben. Modul 2, Aufgaben konstruieren.
  • MSW (2008). Kompetenzorientierung – eine veränderte Sichtweise auf das Lehren und Lernen in der Grundschule. Frechen: Ritterbach.
  • Rasch, R. (2007). Offene Aufgaben für individuelles Lernen im Mathematikunterricht der Grundschule 1+2 und 3+4. Velber: Friedrich.
  • Ruwisch, S. & Peter-Koop, A. (2003). Gute Aufgaben im Mathematikunterricht der Grundschule. Mildenberger.
  • Schütte, S. (2001). Offene Lernangebote – Aufgaben lösen auf verschiedenen Niveaus. In: Grundschulunterricht 11.
  • Selter, Ch. & Sundermann, B. (2010). Gute Aufgaben – herausfordernd beschäftigen. PIK AS Projekt Modul 5. www.pikas.uni-dortmund.de  
  • Selter, Ch. (2008): Der neue Mathematiklehrplan für die Grundschule. Eine Illustration durch zehn Unterrichtsbeispiele.
  • Selter, Ch.(2004): Mehr als Kenntnisse und Fertigkeiten. Basispapier zum Modul 2: Erforschen, Entdecken und Erklären im Mathematikunterricht der Grundschule. Kiel.
  • Walther, Gerd (2004). Gute Aufgaben und andere Aufgaben. Sinus Transfer Projekt Modul 1. www.sinus-grundschule.de
  • Winter, H. (1987): Mathematik entdecken. Neue Ansätze für den Unterricht in der GS. Scriptor Verlag, Frankfurt am Main



Ellen Basten ist Fachleiterin für das Fach Mathematik im Studienseminar Primarstufe in Düsseldorf

© Finken-Verlag, 2011

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